Question

（2009•潍坊二模）已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R
（I）当a=0，b=3时，求函数，f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=0时，

f(x)

x2

-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范围
（Ⅲ）若0＜a＜b，点A（s，f（s）），B（t，f（t））分别是函数f（x）的两个极值点，且0A⊥OB，其中0为原点，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数的极值；
（Ⅱ）当a=0时，

f(x)

x2

-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，即b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立，求出右边的最小值，即可得到结论；
（Ⅲ）利用向量知识，确定(a-b)2=

9

ab

，进而可得(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab，利用基本不等式，即可得到结论．

解答：解：（I）当a=0，b=3时，f（x）=x³-3x²
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴x=0时，函数取得极大值为0，x=2时，函数取得极小值为-4；
（Ⅱ）当a=0时，

f(x)

x2

-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x-lnx，则g′(x)=

x-1

x

∵x＞1，∴g′(x)=

x-1

x

＞0
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数
∴g（x）_min=g（1）=1
∴b≤1；
（Ⅲ）由题意，

OA

•

OB

=0，∴st+f（s）f（t）=0
∴st+st（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=0①
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab
∵s，t是f′（x）=0的两根
∴s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

＞0
∴①可化为（

1

3

a2-

ab

3

）（

1

3

b2-

ab

3

）=-1
∴ab（a-b）²=9
∴(a-b)2=

9

ab

∴(a-b)2=

9

ab

∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥12
当且仅当

9

ab

=4ab，即ab=

3

2

时取“=”
∴a+b的取值范围是[2

3

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．