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例4、已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5.
①证明:f(1)+f(4)=0;②求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;③求y=f(x)在[4,9]上的解析式.
分析:①根据函数以5为周期的性质知:f(4)=f(4-5)=f(-1),在根据函数为奇函数知f(1)=-f(-1)=-f(4)即证
②根据二次函数的特点利用待定系数法设出二次函数的解析式f(x)=a(x-2)2-5(a>0),将①的结论代入即可求解
③根据函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.知f(0)=0,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,利用待定系数法设函数解析式为:f(x)=kx(-1≤x≤1)得到函数y=f(x)=-3x(-1≤x≤1),在利用函数的周期性即可求解
解答:解:①∵f(x)是以5为周期的周期函数
∴f(4)=f(4-5)=f(-1)
∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数
∴f(1)=-f(-1)=-f(4)
∴f(1)+f(4)=0.
    ②当x∈[1,4]时,由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a>0)
    由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0
∴a=2
∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4)
   ③∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数
∴f(0)=0
∵y=f(x)在[0,1]上是一次函数
∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),而f(1)=2(1-2)2-5=-3
∴k=-3
∴当0≤x≤1时,f(x)=-3x
     从而当-1≤x<0时,f(x)=-f(-x)=-3x
     故-1≤x≤1时,f(x)=-3x
∴当4≤x≤6时,有-1≤x-5≤1
∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15
    当6<x≤9时,1<x-5≤4,
∴f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5
f(x)=
-3x+15  4≤x≤6
2(x-7)2-5  6<x≤9
点评:本题考查了二次函数的性质,函数的周期性、奇偶性,函数解析式的求解及常用方法,属于基础题.
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