Question

设函数f(x)的定义域为D，若存在x₀∈D，使得y₀=f(x₀)=x₀，则称以(x₀,y₀)为坐标的点为函数图象上的不动点.

(1)若函数f(x)=的图象上有两个关于原点对称的不动点，求a、b满足的条件;

(2)在(1)的条件下，若a=8，记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、A′，P为函数f(x)的图象上的另一点，且其纵坐标y_P＞3，求点P到直线AA′距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.

(3)命题“若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明.

Answer 1

解：(1)若点(x₀,y₀)是不动点，则有f(x₀)==x₀，整理得x₀²+(b-3)x₀-a=0.

    由题意知方程有两个根，且这两个根绝对值相等，符号相反.

    由韦达定理，得∴b=3,a＞0.

    于是f(x)=3+，由题设知a≠9，故a、b应满足b=3,a＞0且a≠9.

(2)在(1)的条件下，当a=8时，f(x)=.

    由=x，得到两个不动点为A(,)、A′(-,-).

    设点P(x,y)，且y_P＞3,即＞3,

    解得x＜-3.

    直线AA′的方程为y=x，设点P到直线AA′的距离为d,则

d==|x-|=()=［(-x-3)+］≥(2+6)=4.

    当且仅当(-x-3)=，即x=-4时d取到最小值，此时x=-4,y=4,点P坐标为(-4,4).

(3)命题正确.

    由f(x)为奇函数，得f(-x)=-f(x)，取x=0，得f(0)=0,(0,0)为函数的一个不动点.

    设函数f(x)除0以外还有不动点(x,x)(x≠0),则f(x)=x.又f(-x)=-f(x)=-x,故(-x,-x)也为函数不动点.

    综上，若定义在R上的奇函数f(x)图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个.