Question

已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)，且f（2）＜f（3）
（1）求k的值；
（2）试判断是否存在正数p，使函数g（x）=1-p•f（x）+（2p-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，

17

8

]．若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数形式知，此为一幂函数，又f（2）＜f（3），可知函数在[2，3]是增函数，由分析知，函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)是一增函数，故指数为正，即-k²+k+2＞0，再结合k为整数求解即可
（2）由（1）知函数解析式为f（x）=x²，将其代入函数g（x）知其也为一二次函数，下研究g（x）在区间[-1，2]上的最值，结合值域为[-4，

17

8

]建立关于参数p的方程求参数即可．若能求出，则说明存在，否则，不存在．

解答：解：（1）已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)，
∵f（2）＜f（3），∴-k²+k+2＞0，即k²-k-2＜0，
∵k∈Z，∴k=0或1
（2）存在p=2，使得结论成立，证明如下：
由（1）知函数解析式为f（x）=x²，
g(x)=1-p•x2+(2p-1)x=-p(x-

2p-1

2p

)2+

4p2+1

4p

①当

2p-1

2p

∈[-1，2]，即p∈[

1

4

，+∞)时，

4p2+1

4p

=

17

8

，p=2，g(-1)=-4，g(2)=-1
②当

2p-1

2p

∈(2，+∞)时，解得-

1

2

＜p＜0，
∵p＞0，∴这样的p不存在．
③当

2p-1

2p

∈(-∞，-1)，即p∈(0，

1

4

)时，
g(-1)=

17

8

，g(2)=-4，解之得，这样的p不存在．
综①②③得，p=2．
即当p=2时，结论成立．

点评：本题考点是二次函数的性质，考查利用二次函数的性质判断出函数的最值，利用最值建立方程求参数，本题是一存在性问题，考查思维的严密性综合性较强，分类时要做到不重不漏，严谨做题．