Question

13．已知直线l的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）把直线l和曲线C的方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
（2）求曲线C上的点到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，能求出直线l的直角坐标方程，根据sin²θ+cos²θ=1，消参后能求出曲线C的普通方程．
（2）求出圆心C到直线l：x+y-2=0的距离d=$\sqrt{2}$＞1=r，直线l与圆C相离，由此得到圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径．

解答 解：（1）∵直线l的方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴$psinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=2，
根据$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入得：直线l的直角坐标方程为x+y-2=0．
∵曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴根据sin²θ+cos²θ=1，消参后得曲线C的普通方程是：x²+y²=1．
（2）∵曲线C：x²+y²=1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，
圆心C到直线l：x+y-2=0的距离d=$\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$＞1=r，
∴直线l与圆C相离，
∴圆上的点到直线的最大距离是圆心到直线的距离加半径，
∴曲线C上的点到直线l距离的最大值为$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查直线的直角坐标方程和圆的普通方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．