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如图,已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF=a(a>0),M是线段EF的中点.
(1)求证:AC⊥BF;
(2)若二面角F-BD-A的大小为60°,求a的值;
(3)令a=1,设点P为一动点,若点P从M出发,沿棱按照M→E→C的路线运动到点C,求这一过程中形成的三棱锥P-BFD的体积的最小值.

解:建立空间坐标系,

(1)

所以AC⊥BF.(5分)

(2)平面ABD的法向量
平面FBD的法向量

(3)解1设AC与BD交于O,则OF∥CM,所以CM∥平面FBD,
当P点在M或C时,三棱锥P-BFD的体积的最小.
(14分)
解2设AC与BD交于O,则OF∥CM,所以CM∥平面FBD,
当P点在M或C时,三棱锥P-BFD的体积的最小.

平面FBD的法向量
点C到平面FBD的距离.(14分)
分析:(1)建立空间直角坐标系,求出,即可证明AC⊥BF;
(2)求出平面ABD的法向量,利用及二面角F-BD-A的大小为60°,求a的值;
(3)解1a=1,设AC与BD交于O,则OF∥CM,所以CM∥平面FBD,当P点在M或C时,直接求出三棱锥P-BFD的体积的最小.
解2,求出,利用公式,求解即可.
点评:本题考查用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,向量语言表述线线的垂直、平行关系,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
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如图,已知平行四边形ABCD所在平面外一点P,E、F分别是AB,PC的中点.求证:EF∥平面PAD.

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如图,已知平行四边形ABCD中,AD=2,CD=
2
,∠ADC=45°,AE⊥BC,垂足为E,沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE,使得平面B′AE⊥平面AECD.连接B′D,P是B′D上的点.
(Ⅰ)当B′P=PD时,求证:CP⊥平面AB′D;
(Ⅱ)当B′P=2PD时,求二面角P-AC-D的余弦值.

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如图,已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF=
3

(1)求证:AC⊥BF;
(2)求二面角F-BD-A的余弦值;
(3)求点A到平面FBD的距离.

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如图,已知平行四边形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF为正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,G,H分别是DF,BE的中点.
(Ⅰ)求证:GH∥平面CDE;
(Ⅱ)当四棱锥F-ABCD的体积取得最大值时,求平面ECF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.

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如图,已知平行四边形ABCD中,AB=3,BC=2,∠BAD=60°,E为BC边上的中点,F为平行四边形内(包括边界)一动点,则
AE
AF
的最大值为
31
2
31
2

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