Question

（2013•泰安一模）设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=a₁-9，a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）证明：对任意k∈N⁺，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列．

Answer 1

分析：（1）由题意可建立

a1•q3=a1-9 2a1q2=a1q3+a1q4

，解之可得

a1=1 q=-2

，进而可得通项公式；
（2）由（1）可求S_k，进而可得S_k+2，S_k+1，由等差中项的定义验证S_k+1+S_k+2=2S_k即可

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
则

a1•q3=a1-9 2a1q2=a1q3+a1q4

，解得

a1=1 q=-2

，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=（-2）^n-1，
（2）由（1）可知a_n=（-2）^n-1，
故S_k=

1×[1-(-2)k-1]

1-(-2)

=

1-(-2)k-1

3

，
所以S_k+1=

1-(-2)k

3

，S_k+2=

1-(-2)k+1

3

，
∴S_k+1+S_k+2=

1-(-2)k

3

+

1-(-2)k+1

3

=

2-(-2)k-(-2)k+1

3

=

2-(-2)k(1-2)

3

=

2+(-2)k

3

，
而2S_k=2

1-(-2)k-1

3

=

2-2(-2)k-1

3

=

2+(-2)(-2)k-1

3

=

2+(-2)k

3

，
故S_k+1+S_k+2=2S_k，即S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列

点评：本题考查等比数列的前n项和，以及等差关系的确定，属中档题．