练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=
    1
    0
    和e2=
    0
    1
    ．
    （I）求矩阵A；
    （II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    已知曲线C1的参数方程为
    x=2sinθ
    y=cosθ
    (θ    为参数），C2的参数方程为
    x=2t
    y=t+1
    (t    为参数）
    （I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
    （II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
    （I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
    （II）若g(x)=
    1
    f(x)+m
    的定义域为R，求实数m的取值范围．
    分析：（1）（I）设A=（
    ab
    cd
    ），由A
    i
    =λ1
    i
    ，A
    j
    =λ2
    j
    可求得a，b，c，d；
    （II）设曲线x2+y2=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），由
    20
    0-1
    x
    y
    =
    x′
    y′
    ，可求得x与x′，y与y′之间的关系，从而可得新曲线方程；
    （2）（I）消掉C1：
    x=2sinθ
    y=cosθ
    (θ    为参数）与C2：
    x=2t
    y=t+1
    (t    为参数）中的参数，可求得其普通方程；
    （Ⅱ）依题意可知，在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=-x，由tanθ=1可转化为极坐标方程；
    （3）（I）通过对x分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式组，即可求得不等式f（x）≤5的解集；
    （II）g（x）=
    1
    f(x)+m
    的定义域为R?f（x）+m≠0恒成立?f（x）+m=0在R上无解，利用绝对值函数的几何意义可求得f（x）的最小值，从而可求得m的范围．
    解答：解：（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
    （I）设A=（
    ab
    cd
    ），由A
    i
    =λ1
    i
    ，A
    j
    =λ2
    j
    得：
    ab
    cd
    1
    0
    =2
    1
    0
    =
    2
    0
    ，
    ab
    cd
    0
    1
    =-1×
    0
    1
    =
    0
    -1
    ，
    ∴
    a=2
    c=0
    b=0
    d=-1
    ，故A=
    20
    0-1
    …4分
    （II）设曲线x2+y2=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），则
    20
    0-1
    x
    y
    =
    x′
    y′
    ，即
    x′=2x
    y′=-y
    ，
    ∴
    x=
    1
    2
    x′
    y=-y′
    ，从而(
    1
    2
    x′)    2    +（-y′）2=1，即
    x′2
    4
    +y′2=1，
    ∴新曲线方程为
    x2
    4
    +y2=1…7分
    （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
    ∵（Ⅰ）C1：
    x=2sinθ
    y=cosθ
    (θ    为参数），C2：
    x=2t
    y=t+1
    (t    为参数，
    ∴C1的普通方程为x2+y2=1，C2的普通方程为y=x-1…4分
    （Ⅱ）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=-x，
    在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=
    π
    4
    或θ=
    3π
    4
    …7分
    （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
    （Ⅰ）
    x＜
    1
    2
    4-4x≤5
    或
    1
    2
    ≤x≤
    3
    2
    2≤5
    或
    x＞
    3
    2
    4x-4≤5
    ，
    ∴不等式的解集为x∈[-
    1
    4
    ，
    9
    4
    ]…4分
    （Ⅱ）若g（x）=
    1
    f(x)+m
    的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，
    又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，
    ∴f（x）的最小值为2，
    ∴m＜-2…7分．
    点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查特征值与特征向量的计算，考查参数方程化成普通方程，考查抽象思维与转化能力，考查综合分析与运算能力，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：江苏省丹阳市08-09学年高二下学期期末测试（理） 题型：解答题

     （本题是选做题，满分28分，请在下面四个题目中选两个作答，每小题14分，多做按前两题给分）

    A．(选修4-1：几何证明选讲)

    如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE＝PA，，PD＝1，BD＝8，求线段BC的长.

     

     

     

     

     

     

    B．(选修4-2：矩阵与变换)

    在直角坐标系中，已知椭圆，矩阵阵，，求在矩阵作用下变换所得到的图形的面积.

    C．(选修4-4：坐标系与参数方程)

    直线(为参数，为常数且)被以原点为极点，轴的正半轴为极轴，方程为的曲线所截，求截得的弦长.

    D．(选修4-5：不等式选讲)

    设，求证：.

     

     

     

     

     

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案