Question

欲建一个圆柱形无盖的净水池，要求它的容积为1000πm³，问如何选择它的直径和高，才能使所用的材料最省，最省为多少？

Answer 1

分析：设圆柱的底面半径，高，要求用料最省即圆柱的表面积最小，由题意可得表面积的表示式，利用导数做出函数的最值，并且看出取得最值时，自变量的取值．

解答：解：欲使材料最省，即为表面积最小，设圆柱面半径为R（m），高为h（m）
则h=

1000

R2

…（2分）
材料的面积S(R)=πR2+2πR×

1000

R2

=πR2+

2000π

R

（R＞0）…（6分）
求导有S′(R)=2πR-

2000π

R2

令S'（R）=0得R=10，此时h=10，
得到函数在（0，10）上单调递减，在（10，+∞）上单调递增，
∴当R=h=10时，所用的材料最省，此时的表面积是300πm²，
答：当R=h=10时，所用的材料最省，此时的表面积是300πm²．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，本题解题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，本题是一个中档题目．