Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线C关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2） 过点的直线交抛物线于M、N两点．是否存在定直线，使得l上任意点P与点M，Q，N所成直线的斜率，，成等差数列．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定直线，.

【解析】

（1）设抛物线为，代入点的坐标可得；

（2））假设存在直线使得直线上的任意点有成等差数列，设MN：交抛物线于、，代入抛物线方程应用韦达定理得，计算，，，并计算，代入并化简，由为恒成立的，可求得．

（1）由条件设抛物线为，而点在抛物线上，

从而有，故抛物线方程为

（2）假设存在直线使得直线上的任意点有成等差数列，

由条件知直线MN的斜率不等于0，

设MN：交抛物线于、，

由可得：

从而有

，，

若成等差数列，则

即

化简有

从而有，即

故存在定直线，

使得l上任意点P与点M，Q，N所成直线斜率成等差数列