Question

已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，且在(0，

π

4

)上是增函数．
（1）当ω=1，|?|＜π时，φ的值为

 

；
（2）所有符合题意的ω与φ的值为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得φ=

π

2

或者φ=-

π

2

，再分别验证φ得数值是否符合题中的条件：f（x）在(0，

π

4

)上是减函数，进而得到答案．
（2）根据f（x）为奇函数，可得φ=kπ+

π

2

，k∈Z，所以讨论当k=2n（n∈Z）与当k=2n+1（n∈Z）两种情况讨论，再结合函数的单调性解决问题即可得到答案．

解答：解：（1）因为函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，
所以φ=

π

2

+kπ，（k∈Z），
因为|φ|＜π，所以φ=

π

2

或者φ=-

π

2

．
当φ=

π

2

时，f（x）=2cos（x+

π

2

）=-2sinx，
所以根据余弦函数的性质可得f（x）在(0，

π

4

)上是减函数，
所以φ=

π

2

舍去．
当φ=-

π

2

时，f（x）=2cos（x-

π

2

）=2sinx，
所以根据余弦函数的性质可得f（x）在(0，

π

4

)上是增函数，
所以φ=-

π

2

符合题意，所以φ=-

π

2

．
（2）由f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx•cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得：φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
当k=2n（n∈Z）时，f(x)=2cos(ωx+2nπ+

π

2

)=2sin(-ωx)为奇函数，
因为f（x）在(0，

π

4

)上是增函数，
所以ω＜0，由

π

2

≤-ωx≤

π

2

?

π

2ω

≤x≤

-π

2ω

，
又f（x）在 （0，π4）上是增函数，故有(0，

π

4

)⊆[

π

2ω

，

-π

2ω

]，

π

4

≤

-π

2ω

，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故

ω=-1或-2 ?=2nπ+ π 2 ，n∈Z

．
当k=2n+1（n∈Z）时，f(x)=2cos(ωx+2nπ+π+

π

2

)=-2sin(ωx)为奇函数，
因为f（x）在(0，

π

4

)上是增函数，
所以ω＞0，由

π

2

≤ωx≤

π

2

?-

π

2ω

≤x≤

π

2ω

，
又f（x）在 （0，π4）上是增函数，故有(0，

π

4

)⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]，

π

4

≤

π

2ω

，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故

ω=1或2 ?=(2n+1)π+ π 2 ，n∈Z

．
所以所有符合题意的ω与φ的值为：

ω=-1或-2 ?=2nπ+ π 2 ，n∈Z

或者

ω=1或2 ?=(2n+1)π+ π 2 ，n∈Z

．

点评：本题主要考查三角函数的基本性质，函数的单调性，奇偶性，及其单调性与奇偶性的综合推理能力，考查运算能力，有一定的难度．