Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，A₁A=2，点F是棱BC的中点，点E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ为实数）．
（1）求二面角D₁-AC-D的余弦值；
（2）当λ=

1

3

时，求直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（3）求证：直线EF与直线EA不可能垂直．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量

D1A

、

D1C

的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面D₁AC的一个法向量

n

=（2，1，2），结合平面DAC的一个法向量为

m

=（0，0，1）最后用空间向量的夹角公式即可算出二面角D₁-AC-D的余弦值；
（2）当λ=

1

3

时，可得E、F的坐标，从而

EF

=(1，3，-2)，进而算出＜

EF

，

n

＞的余弦值，再由＜

EF

，

n

＞为锐角，结合直线与平面所成角的定义，即可算出直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（3）假设EF⊥EA，由

EF

•

EA

=0建立关于λ的等式，化简可得3λ²-2λ+3=0，由根的判别式得该方程无解，所以原假设不成立，从而得到直线EF不可能与直线EA不可能垂直．

解答：解：（1）以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．
则A（2，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，2），

D1A

=(2，0，-2)，

D1C

=(0，4，-2)． …（2分）
设平面D₁AC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

•

D1A

=0，

n

•

D1C

=0．
即x=z，z=2y．令y=1，则x=z=2．
∴平面D₁AC的一个法向量

n

=（2，1，2）．…（4分）
又平面DAC的一个法向量为

m

=（0，0，1）．
故cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

1×3

=

2

3

，
即二面角D₁-AC-D的余弦值为

2

3

． …（6分）
（2）当λ=

1

3

时，E（0，1，2），F（1，4，0），

EF

=(1，3，-2)．
所以cos ＜

EF

，

n

＞=

EF • n

| EF |•| n |

=

1

14 ×3

=

14

42

．                 …（9分）
因为 cos＜

EF

，

n

＞＞0，所以＜

EF

，

n

＞为锐角，
从而直线EF与平面D₁AC所成角的正弦值的大小为

14

42

．         …（10分）
（3）假设EF⊥EA，则

EF

•

EA

=0．
∵E(0，

4λ

1+λ

，2)，F(1，4，0)，
∴

EA

=(2，-

4λ

1+λ

，-2)，

EF

=(1，4-

4λ

1+λ

，-2)．               …（12分）
∴2-

4λ

1+λ

(4-

4λ

1+λ

)+4=0．化简得3λ²-2λ+3=0．
该方程无解，所以假设不成立，即直线EF不可能与直线EA不可能垂直．…（14分）

点评：本题给出长方体模型，求二面角的余弦值和线面角的正弦值，并探索线线垂直的问题．着重考查了长方体的性质、利用空间向量研究线面角与面面角等知识，属于中档题．