Question

设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件

2x-y-6≤0 x-y+2≥0

，

ON

=(a，b) (a＞0，b＞0)，若

OM

•

ON

的最大值为40，

5

a

+

1

b

的最小值为（　　）

• A．

  25

  6

• B．

  9

  4

• C．1
• D．4

Answer 1

分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义以及基本不等式的应用进行求解．

解答：解：∵

OM

•

ON

=ax+by，
∴设z=ax+by，则z的最大值为40．
作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z=ax+by，得y=-

a

b

x+

z

b

，
由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

，经过点A时，直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，
此时z最大（∵b＞0），
由

2x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=8 y=10

，
即A（8，10），
代入z=ax+by，得40=8a+10b，
即

a

5

+

b

4

=1，
∴

5

a

+

1

b

=（

5

a

+

1

b

）（

a

5

+

b

4

）=1+

1

4

+

5b

4a

+

a

5b

≥

5

4

+2

5b 4a • a 5b

=

5

4

+2×

1

2

=

9

4

，
当且仅当

5b

4a

=

a

5b

，即4a²=25b²，2a=5b时取等号，
∴

5

a

+

1

b

的最小值为

9

4

，
故选：B．

点评：本题主要考查线性规划和基本不等式的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划的关键，注意利用数形结合来解决．