Question

数列{a_n}的前n项和记为A_n，a₁=1，a_n+1=2A_n+1（n≥1）
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为B_n，且B₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求B_n的表达式；
（III）若数列{c_n}中cn-1=(

Bn

n

-3)an（n≥2），求数列{c_n}的前n项和S_n的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由a_n+1=2A_n+1可得  a_n=2A_n-1+1（n≥2），推出a_n+1=3a_n（n≥2），判断{a_n}是首项为1，公比为3得等比数列求出通项公式．
（Ⅱ）设{b_n}的公差为d，由 B₃=15，得b₂=5，利用a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，解得 d₁=2，然后求出等差数列{b_n}的前n项和为B_n．
（ III）利用（Ⅱ）求出cn-1=(

Bn

n

-3)an（n≥2），推出cn=n•3n（n≥1），利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和S_n的表达式．

解答：（本题14分）
解：（Ⅰ） 由a_n+1=2A_n+1可得  a_n=2A_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，于是a_n+1=3a_n（n≥2），
又 a₂=2A₁+1=3∴a₂=3a₁，
故{a_n}是首项为1，公比为3得等比数列，∴an=3n-1…（4分）
（Ⅱ）设{b_n}的公差为d，由 B₃=15，可得b₁+b₂+b₃=15，得b₂=5，
故可设 b₁=5-d，b₃=5+d又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由题意可得 （5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，解得 d₁=2，d₂=-10，
∵等差数列{b_n}的各项为正，
∴d＞0，于是d=2，
∴Bn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n；         …（8分）
（ III）∵cn-1=(

Bn

n

-3)an（n≥2），
∴cn-1=(n-1)3n-1（n≥2），
∴cn=n•3n（n≥1），Cn=c1+c2+…+cn=1×3+2×32+3×33+…+n•3n①
于是，3Cn= 1×32+2×33+…+(n-1)•3n+n•3n+1②
两式相减得：-2Cn=3+32+33+…+3n-n•3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
∴Cn=(

n

2

-

1

4

)•3n+1+

3

4

．          …（14分）

点评：本题考查考查数列的递推关系式，通项公式与前n项和的求法，错位相减法的应用，考查分析问题解决问题的能力．