Question

不等式≤的解集是[-4，0]，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-5]
B．[）
C．（-∞，-5）
D．（-∞，0）

Answer 1

【答案】分析：由题设知不等式≤的解集是[-4，0]，求a的取值范围，可将问题转化为函数f（x）=≤0在[-4，0]恒成立，由此可以借助导数求出函数在[-4，0]上的最大值，令最大值小于等于0即可解出a的取值范围，选出正确选项
解答：解：由题意，可构造函数f（x）=
∴f′（x）=-=-
令f′（x）＞0解得x＞-或x＜-，令f′（x）＜0解得-＜x＜-如下表

x	-4		-		-
f’（x）		+		-		+
单调性		增		减		增
函数值	--1+a	↑	极大值5+a	↓	极小值	↑	-1+a

由表知，当函数的最大值是f（-）=5+a
又不等式≤的解集是[-4，0]，即在[-4，0]，恒有f（x）=≤0恒成立
故有5+a≤0恒成立，解得a≤-5
故选A
点评：本题考查利用函数恒成立证明不等式，将不等式证明的问题转化为函数恒成立问题解决是解本题的关键，也是求解本题的亮点，利用函数最大值小于等于0得出参数a所满足的不等式，是求解本题的手段，函数最值与恒成立问题结合是解决恒成立问题常用思路，题后应注意总结本题的解题脉络，本题考查了函数的思想，是函数最值的应用题