Question

已知方程x²+ax+b=0，a，b为常数．
（Ⅰ）若a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求方程的解的个数ξ的期望；
（Ⅱ）若a，b在[0，2]内等可能取值，求此方程有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意得到基本事件总数为12，并且分别求出：当方程x²+ax+b=0没有解时，方程x²+ax+b=0有一解时，方程x²+ax+b=0有两解时，包含的基本事件数以及其发生的概率，进而得到分布列求出期望．
（2）由题意可得：试验的全部结果构成区域是一个矩形区域，其面积S_Ω=2×2=4，并且写出所求事件构成的区域以及其面积S_M=

2

3

，进而求出答案．

解答：解：（1）a取集合{0，1，2}中任一元素，b取集合{0，1，2，3}中任一元素，
∴a、b的取值情况有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12．
当方程x²+ax+b=0没有解时，即△=a²-4b＜0，此时a、b的取值情况有（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），包含的基本事件数为8．
当方程x²+ax+b=0有一解时，即△=a²-4b=0，此时a、b的取值情况有（0，0），（2，1），包含的基本事件数为2．
当方程x²+ax+b=0有两解时，即△=a²-4b＞0，此时a、b的取值情况有（1，0），（2，0），包含的基本事件数为2．
由题意知用随机变量ξ表示方程x²+ax+b=0实根的个数，所以得到ξ=0，1，2
所以P(ξ=0)=

8

12

=

2

3

，P(ξ=1)=

2

12

=

1

6

，P(ξ=2)=

2

12

=

1

6

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
p	2 3	1 6	1 6

∴ξ的数学期望为Eξ=0×

2

3

+1×

1

6

+2×

1

6

=

1

2

．
（2）∵a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，2]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}这是一个矩形区域，其面积S_Ω=2×2=4，
设“方程x²+ax+b=0有实根”为事件A，
则事件A构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a²-4b≥0}，由积分公式可得其面积S_M=

2

3

．
由几何概型的概率计算公式可得：方程有实根的概率P（A）=

2 3

4

=

1

6

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，以及几何概率模型．