Question

（01全国卷理） (12分)

    从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．

    (Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元．写出a_n，b_n的表达式；

(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer 1

解析：：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－）万元，……，第n年投入为800×（1－）^n－1万元．

所以，n年内的总投入为

a_n = 800＋800×（1－）＋…＋800×（1－）^n－1

                                                                 

                                                                  = 4000×[1－()ⁿ]；                                ……3分

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋）^n－1万元．

所以，n年内的旅游业总收入为

b_n = 400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）^n－1

                                                                 

                                                                  = 1600×[ ()ⁿ－1]．                               ……6分

（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此

b_n－a_n＞0，

即 1600×[（）ⁿ －1]－4000×[1－（）ⁿ]＞0．

化简得 5×（）ⁿ＋2×（）ⁿ －7＞0，                            ……9分

设（）ⁿ，代入上式得

5x²－7x＋2＞0，

解此不等式，得

，x＞1(舍去)．

即                           （）ⁿ＜，

由此得                         n≥5．

答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．                   ……12分