Question

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2007年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x=

k

t+1

（t≥0，k≠0且k为常数），如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2007年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用．若将每件化妆品的售价定为：平均每件促销费的一半与每件生产成本的150%之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
（1）求常数k的值；
（2）将2007年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（3）该企业2007年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

Answer 1

分析：（1）根据题意，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x=

k

t+1

，根据当t=0时，x=1，求出k的值．
（2）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（3）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．

解答：解：（1）由题意：3-x=

k

t+1

，
且当t=0时，x=1．
所以k=2，即 x=

3t+1

t+1

．
（2）由（1）知x=3-

2

t+1

，
当年生产x（万件）时，年生产成本=年生产费用+固定费用=32x+3，
当销售x（万件）时，年销售收入=150%(32x+3)+

1

2

t．
由题意，生产x万件化妆品正好销完．
∵年利润=年销售收入-年生产成本-促销费，
∴y=150%(32x+3)+

1

2

t-(32x+3)-t=

1

2

(32x+3)-

1

2

t．
∴y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)（t≥0）．（8分）
（3）y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)≤50-2

16

=42万，
当且仅当

t+1

2

=

32

t+1

时取等号，此时t=7．
∴当促销费定在7万元时，利润最大为42万．（14分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，属于中档题．