Question

已知动点P与平面上两定点A（-1，0），B（1，0）连线的斜率的积为定值-2．
（1）试求动点P的轨迹方程C．
（2）设直线l：y=x+1与曲线C交于M、N两点，求|MN|

Answer 1

分析：（1）设出点P（x，y），表示出两线的斜率，利用其乘积为-2，建立方程化简即可得到点P的轨迹方程．
（2）将直线l：y=x+1代入曲线C方程x²+

y2

2

=1，整理得3x²+2x-1=0，可求得方程的根，进而利用弦长公式可求|MN|．

解答：解：（1）设P（x，y），则k_PA=

y-0

x+1

，k_PB=

y-0

x-1

∵动点p与定点A（-1，0），B（1，0）的连线的斜率之积为-2，
∴k_PA×k_PB=-2
∴

y2

x2-1

=-2，即2x²+y²=2
又x=±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1
综上点P的轨迹方程为x²+

y2

2

=1（x≠±1）
（2）将直线l：y=x+1代入曲线C方程x²+

y2

2

=1，整理得3x²+2x-1=0
∴x1=-1，x2=

1

3

∴|MN|=

2

|x1-x2| = 

4

3

2

点评：本题以斜率为载体，考查曲线方程的求解，关键是利用斜率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式的运用．