Question

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

Answer 1

分析：（1）为保证“恰有一个盒内不放球”，先选一个盒子，再将4个球分成2，1，1三组，然后全排列，由分步乘法计数原理，可得结论；
（2）“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，由此可得结论；
（3）先从四个盒子中任意拿走两个，有

C

2 4

种方法．然后问题转化为：“4个球，两个盒子，每个盒子必放球，有几种放法？”从放球数目，进行分类讨论，即可得到结论．

解答：解：（1）为保证“恰有一个盒内不放球”，先选一个盒子，有

C

1 4

种方法；再将4个球分成2，1，1三组，有

C

2 4

种分法，然后全排列，由分步乘法计数原理，共

A

3 3

有种放法，故共有

C

1 4

C

2 4

A

3 3

=144种放法；
（2）“恰有一个盒内有2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，共有

C

1 4

C

2 4

A

3 3

=144种放法；
（3）先从四个盒子中任意拿走两个，有

C

2 4

种方法．然后问题转化为：“4个球，两个盒子，每个盒子必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为3，1和2，2两类：
第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有

C

3 4

C

1 2

种放法；
第二类：有

C

2 4

种放法．
由分步计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有

C

2 4

（

C

3 4

C

1 2

+

C

2 4

）=84放法．

点评：本题考查排列组合知识，考查利用数学知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．