Question

已知抛物线C₁：y²=4x，圆C₂：（x-1）²+y²=1，过抛物线焦点F的直线l交C₁于A，D两点（点A在x轴上方），直线l交C₂于B，C两点（点B在x轴上方）．
（Ⅰ）求|AB|•|CD|的值；
（Ⅱ）设直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为m、n、p、q，且满足m+n+p+q=3

2

，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出所有满足条件的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=x_A，同理可得：|CD|=x_D，要分l⊥x轴和l不垂直x轴两种情况分别求值，当l⊥x轴时易求，当l不垂直x轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得．
（2）首先在第1问得基础上和|AB|，|BC|，|CD|成等差数的关系用坐标表示，就可得出k的值，然后再把m+n+p+q=3

2

用坐标表示，再联立直线和圆的方程利用根与系数关系，把几个坐标的关系式联合起来就可确定k的值，从而求出此时的直线方程．

解答：解：（1）∵y²=4x，焦点F（1，0），准线 l₀：x=-1．
由定义得：|AF|=x_A+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x_A同理：|CD|=x_D
当l⊥x轴时，则x_D=x_A=1，∴|AB|×|CD|=1          
当l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x_Ax_D=1，∴|AB|×|CD|=1
综上所述，|AB|×|CD|=1
（2）∵|AB|，|BC|，|CD|成等差，且|AB|=x_A，|BC|=2，|CD|=x_D，∴x_A+x_D=4
由（1）得：xA+xD=

2k2+4

k2

， ∴k2=2，∴k=±

2

∵l：y=k（x-1），∴m=kOA=

yA

xA

=k(1-

1

xA

)
同理：n=k(1-

1

xB

) ，p=k(1-

1

xC

) ，q=k(1-

1

xD

)
∴m+n+p+q=k[4-(

1

xA

+

1

xD

)-(

1

xB

+

1

xC

)]=3

2

又

1

xA

+

1

xD

=

xA+xD

xAxD

=4
把y=k（x-1）代入（x-1）²+y²=1得，（k²+1）x²-2（1+k²）x+k²=1，∵k²=2，∴3x²-6x+2=0
∴xB+xC=2，  xBxC=

2

3

 ，

1

xB

+

1

xC

=3，  ∴K=-

2

，
所以所求直线L的方程为

2

x+y-

2

=0

点评：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，好在本题还融和了等差数列，主题思路是转化成坐标关系式，用方程的思想去解决．