Question

（2013•乌鲁木齐一模）选修4-5：不等式选讲
设函数，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（I）求证f（x）≥1；
（II）若f（x）=

a2+2

a2+1

成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；
（II）利用基本不等式可求得

a2+2

a2+1

≥2，要使f（x）=

a2+2

a2+1

成立，需且只需|x-1|+|x-2|≥2即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：
f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1  …（5分）
（Ⅱ）∵

a2+2

a2+1

=

a2+1+1

a2+1

=

a2+1

+

1

a2+1

≥2，
∴要使f（x）=

a2+2

a2+1

成立，需且只需|x-1|+|x-2|≥2，
即

x＜1 1-x+2-x≥2

，或

1≤x＜2 x-1+2-x≥2

，或

x≥2 x-1+x-2≥2

，
解得x≤

1

2

，或x≥

5

2

．
故x的取值范围是（-∞，

1

2

]∪[

5

2

，+∞）．…（10分）

点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得

a2+2

a2+1

≥2是关键，属于中档题．