Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，BC=CC₁，E、F分别为AB、AA₁的中点．
（1）求证：直线EF∥平面BC₁A₁；
（2）求证：EF⊥B₁C．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证直线EF∥平面BC₁A₁，只需证明EF平行平面BC₁A₁中的一条直线即可，由E、F分别为AB、AA₁的中点，可知
EF∥A₁B，EF∥A₁B?平面BC₁A₁，问题得证．
（2）欲证EF⊥B₁C，只需证明EF的平行线A₁B垂直于B₁C即可，也即证明B₁C垂直于A₁B所在的平面BA₁C₁，又须证明B₁C垂直于平面BA₁C₁中的两条相交直线，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC₁，极易证明BC₁⊥B₁C，A₁C₁⊥B₁C，
而BC₁，A₁C₁为平面BA₁C₁中的两条相交直线，问题得证．
解答：解：（1）∵E、F分别为AB、AA₁的中点，∴EF∥A₁B
∵EF?平面BC₁A₁，A₁B⊆平面BC₁A₁
∴EF∥平面BC₁A₁．
（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AC⊥CC₁，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，∴AC⊥B₁C，
又∵A₁C₁∥AC，∴A₁C₁⊥B₁C，
∵BC=CC₁，BC⊥CC₁，∴BC₁⊥B₁C
∴B₁C⊥平面BA₁C₁，∴B₁C⊥A₁B
由（1）知，EF∥A₁B
∴EF⊥B₁C．
点评：本题主要考察了空间的线面平行，线线垂直的证明，充分考察了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力．