Question

已知直线P₁P₂的斜率为k（k≠0），P₁、P₂的坐标分别为（x₁y₁）、（x₂y₂），求证：|P₁P₂|=

1+k2

|x2-x1|=

1+ 1 k2

|y2-y1|．

Answer 1

分析：由题意得直线的斜率k=

y2-y1

x2-x1

，再由两点间的距离公式可得 |P1P2|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( y2-y1 x2-x1 )2

|x2-x1|，将斜率k代入即可得证．

解答：证明：∵直线P₁P₂的斜率为k（k≠0），P₁、P₂的坐标分别为（x₁ ，y₁）、（x₂，y₂），则 k=

y2-y1

x2-x1

．
∴|P1P2|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( y2-y1 x2-x1 )2

|x2-x1|=

1+k2

|x2-x1|．
∴|P1P2|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+( x2-x1 y2-y1 )2

|y2-y1|=

1+ 1 k2

|y2-y1|．
故|P₁P₂|=

1+k2

|x2-x1|=

1+ 1 k2

|y2-y1| 成立．

点评：本题考查直线的斜率公式，两点间距离公式的应用，式子变形是解题的关键和难点．