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已知函数f(x)=
2x-1
2x+1
,对任意m∈[-3,3],不等式f(mx-1)+f(2x)<0恒成立,则实数x的取值范围为(  )
分析:先判断函数f(x)的奇偶性和单调性,利用奇偶性和单调性将不等式进行转化,即可求出x的取值范围.
解答:解:函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-f(x)

∴函数f(x)是奇函数.
又f(x)=
2x-1
2x+1
=
2x+1-2
2x+1
=1-
2
2x+1

∵函数y=2x+1在R上单调递增,且y>0,
∴y=
2
2x+1
在R上单调递减,y=-
2
2x+1
在R上单调递增,
即函数f(x)在R上单调递增.
由f(mx-1)+f(2x)<0得f(mx-1)<-f(2x)=f(-2x),
∴mx-1<-2x,
即mx+2x-1<0,
设g(m)=mx+2x-1,
∵m∈[-3,3],
∴满足
g(3)<0
g(-3)<0

5x-1<0
-x-1<0

x<
1
5
x>-1
,即-1<x<
1
5

故选:A.
点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及应用,综合性较强,考查学生的转化意识.
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1
x
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