Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根据PC⊥平面ABC，可得PC⊥AB．根据CD⊥平面PAB，可得CD⊥AB，再利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面PCB．
（II）取AP的中点O，连接CO、DO，证∠COD为二面角的平面角，再求解．

解答：（I）证明：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．                                       
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB． 
（II） 取AP的中点O，连接CO、DO，
∵PC=AC=2，∴CO⊥PA，且CO=

2

，
又∵CD⊥平面PAB，∴CD⊥PA，∵PA⊥平面CDO，∴DO⊥PA，
∴∠COD为二面角C-PA-B的平面角，
在Rt△ABC中，AB=BC，AC=2，∠ABC=

π

2

，∴BC=

2

，
在Rt△PBC中，PB=

6

，CD=

2 3

3

，
∵DO?平面PAB，∴CD⊥DO，
∴在Rt△COD中，sin∠COD=

CD

CO

=

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力．