Question

（2012•莆田模拟）已知函数f（x）=asinx-x+b（a＞0，b＞0）．
（1）求证：函数f（x）在区间[0，a+b]内至少有一个零点；
（2）若函数f(x)在x=

π

3

处取得极值．
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx对任意x∈[0，

π

2

]恒成立，求b的取值范围；
（ii）设△ABC的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且-

π

3

＜x1＜x2＜x3＜

π

3

，求证：f（sin²A+sin²C）＜f（sin²B）．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0，可得函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）根据函数f(x)在x=

π

3

处取得极值，可得a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，

π

2

]恒成立，构造函数g（x）=cosx-sinx+x，求函数的最大值，即可求b的取值范围；
（ii）确定函数f（x）在（-

π

3

，

π

3

）上是单调递增函数，从而可得y₁＜y₂＜y₃，利用向量的夹角公式、余弦定理、正弦定理可得sin²A+sin²C＜sin²B，再利用函数f（x）在（-

π

3

，

π

3

）上是单调递增函数，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵函数f（x）=asinx-x+b，a、b均为正的常数
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）解：f′（x）=acosx-1，
∵函数f(x)在x=

π

3

处取得极值，∴f′（

π

3

）=0
∴acos

π

3

-1=0，∴a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx-sinx+x对于任意x∈[0，

π

2

]恒成立
设g（x）=cosx-sinx+x，∴g′（x）=-sinx-cosx+1=-

2

sin（x+

π

4

）+1
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，∴sin（x+

π

4

）∈[

2

2

，1]
∴

2

sin（x+

π

4

）∈[1，

2

]
∴g′（x）≤0
∴g（x）=cosx-sinx+x在[0，

π

2

]上是单调减函数，且最大值为g（0）=1
∴b＞1；
（ii）证明：当x∈（-

π

3

，

π

3

）时，cosx＞

1

2

，∴f′（x）=2cosx-1＞0，
∴函数f（x）在（-

π

3

，

π

3

）上是单调递增函数
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且-

π

3

＜x1＜x2＜x3＜

π

3

，
∴y₁＜y₂＜y₃
∵cos∠ABC=

BA • BC

| BA || BC |

=

(x1-x2)(x3-x2)+(y1-y2)(y3-y2)

| BA || BC |

∴cos∠ABC＜0
由余弦定理，cos∠ABC=

|AB|2+|BC|2-|AC|2

2|AB||BC|

＜0
∴|AB|²+|BC|²＜|AC|²
由正弦定理可得：sin²A+sin²C＜sin²B
∴sin²A+sin²C、sin²B∈（0，1）⊆（-

π

3

，

π

3

）
∵函数f（x）在（-

π

3

，

π

3

）上是单调递增函数
∴f（sin²A+sin²C）＜f（sin²B）．

点评：本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．