【题目】对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点.已知f(x)=x2+bx+c
(1)当b=2,c=-6时,求函数f(x)的不动点;
(2)已知f(x)有两个不动点为,求函数y=f(x)的零点;
(3)在(2)的条件下,求不等式f(x)>0的解集.
【答案】(1)或;(2)或;(3).
【解析】
(1)设x为不动点,则有f(x)=x,变形为x2+x﹣6=0,解方程即可.
(2)根据题中条件得x2+(b﹣1)x+c=0利用根与系数的关系得出b,c的值,最后解方程f(x)=0即可得出f(x)的零点.
(3)由题意得f(x)>0即(x+2)(x﹣1)>0,解之即可.
(1)f(x)=x2+2x-6,
由f(x)=x,
∴x2+x-6=0,
∴(x-2)(x+3)=0,
∴x=2或x=-3,
∴f(x)的不动点为2或-3.
(2)∵f(x)有两个不动点,即f(x)=x有两个根,
∴x2+(b-1)x+c=0,
∵,,
∴b=1,c=-2,
∴f(x)=x2+x-2,
令f(x)=0,
即(x+2)(x-1)=0,
解得x=-2或x=1,
∴f(x)的零点为x=1或x=-2.
(3)f(x)>0,
∴(x+2)(x-1)>0,
∴x>1或x<-2,
∴f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞).
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【题目】已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断并用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上的单调性;
(3)若对任意的x∈[1,2],存在t∈[1,2]使得不等式f(x2+tx)+f(2x+m)>0成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线: ,已知过点的直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于、两点.
(1)写出曲线和直线的直角坐标方程.
(2)若, , 成等比数列,求的值.
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【题目】已知直线()与轴交于点,动圆与直线相切,并且与圆相外切,
(1)求动圆的圆心的轨迹的方程;
(2)若过原点且倾斜角为的直线与曲线交于两点,问是否存在以为直径的圆经过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】双曲线 (a>0,b>0)的左右焦点分别为F1 , F2渐近线分别为l1 , l2 , 位于第一象限的点P在l1上,若l2⊥PF1 , l2∥PF2 , 则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.2
D.
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【题目】2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后和80后作为调查对象,随机调查了100位,得到数据如表:
生二胎 | 不生二胎 | 合计 | |
70后 | 30 | 15 | 45 |
80后 | 45 | 10 | 55 |
合计 | 75 | 25 | 100 |
(1)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)根据调查数据,是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由.
参考数据:
P(K2>k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
(参考公式: ,其中n=a+b+c+d)
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【题目】如图,某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形ABC,开机后它从A点出发,沿轨道先逆时针运动再顺时针运动,每运动6米改变一次运动方向(假设按此方式无限运动下去),运动过程中随时记录逆时针运动的总路程s1和顺时针运动的总路程s2,x为该机器人的“运动状态参数”,规定:逆时针运动时x=s1,顺时针运动时x=-s2,机器人到A点的距离d与x满足函数关系d=f(x),现有如下结论:
①f(x)的值域为[0,1];
②f(x)是以3为周期的函数;
③f(x)是定义在R上的奇函数;
④f(x)在区间[-3,-2]上单调递增.
其中正确的有_________(写出所有正确结论的编号).
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