Question

已知数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=，n∈N^*．
（1）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论；
（2）证明：|x_n+1-x_n|≤（）^n-1．
（文）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（理）（1）由x₁=及x_n+1=
得x₂=，x₄=，x₆=．
由x₂＞x₄＞x₆猜想，数列{x_2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即x_2k＞x_2k+2，
易知x_n＞0，那么x_2k+2-x_2k+4=
=
=＞0，
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2，
也就是说，当n=k+1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．
（2）当n=1时，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=，结论成立；
当n≥2时，易知0＜x_n-1＜1，
∴1+x_n-1＜2，x_n=＞，
∴（1+x_n）（1+x_n-1）
=（1+）（1+x_n-1）
=2+x_n-1≥，
∴|x_n+1-x_n|=||
=
≤|x_n-x_n-1|
≤（）²|x_n-1-x_n-2|
≤…≤（）^n-1|x₂-x₁|=（）^n-1．
（文）（1）b₁=a₂-a₁=1，
当n≥2时，b_n=a_n+1-a_n=-a_n=-（a_n-a_n-1）=-b_n-1，
∴{b_n}是以1为首项，-为公比的等比数列．
（2）由（1）知b_n=a_n+1-a_n=（-）^n-1，
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+（-）+…+（-）^n-2
=1+
=1+[1-（-）^n-1]=-（-）^n-1，
当n=1时，-（-）^1-1=1=a₁．
∴a_n=-（-）^n-1（n∈N^*）．
分析：（理）（1）由x₁=及x_n+1=，得x₂=，x₄=，x₆=．由x₂＞x₄＞x₆猜想，数列{x_2n}是递减数列．可以用数学归纳法进行证明．
（2）当n=1时，|x_n+1-x_n|=|x₂-x₁|=，结论成立；当n≥2时，0＜x_n-1＜1，故1+x_n-1＜2，x_n=＞，由此能够证明|x_n+1-x_n|≤（）^n-1．
（文）（1）b₁=a₂-a₁=1，当n≥2时，b_n=a_n+1-a_n=-a_n=-（a_n-a_n-1）=-b_n-1，故{b_n}是以1为首项，-为公比的等比数列．
（2）由b_n=a_n+1-a_n=（-）^n-1，知当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+（-）+…+（-）^n-2=1+=1+[1-（-）^n-1]=-（-）^n-1，由此能够求出{a_n}的通项公式．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．