Question

19．已知关于x的方程e^x=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，则a+b的最大值为e．

Answer 1

分析 若方程e^x=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，则等价为y=ax+b是f（x）=e^x的切线，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，建立a，b的关系，利用导数研究函数的最值和极值即可得到结论．

解答 解：设函数f（x）=e^x，
若方程e^x=ax+b（a＞0，b∈R）有相等根，
则等价为y=ax+b是f（x）=e^x的切线，
设切点为（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），
则f′（x）=e^x，
则切线斜率k=f′（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$，
则对应的切线方程为y-${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=${e}^{{x}_{0}}$x+${e}^{{x}_{0}}$（1-x₀），
∵y=ax+b是f（x）=e^x的切线，
∴a=${e}^{{x}_{0}}$，b=${e}^{{x}_{0}}$（1-x₀），
即x₀=lna，则b=a（1-lna），
则a+b=a+a（1-lna）=2a-alna，
设g（a）=2a-alna，
则g′（a）=2-（lna+1）=1-lna，
由g′（a）＜0得a＞e，此时函数单调递减，
由g′（a）＞0得0＜a＜e，此时函数单调递增，
即当a=e时，函数g（a）=2a-alna取得极大值同时也是最大值g（e）=2e-elne=2e-e=e，
即a+b的最大值为e，
故答案为：e

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据条件转化为求函数的切线问题，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．