已知双曲线的中心在原点O.其中一条准线方程为x=32.且与椭圆x225+y213=1有共同的焦点．(1)求此双曲线的标准方程,设直线L:y=kx+3与双曲线交于A.B两点.试问:是否存在实数k.使得以弦AB为直径的圆过点O?若存在.求出k的值.若不存在.请说明理由．设直线L:y=kx+3与双曲线交于A.B两点.C是直线L1:y=mx+6上任一点试问:是否存在实数k.使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=

，且与椭圆

=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L₁：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

分析：（1）由已知得：c2=12，

，则a²=3，b²=9，从而可求双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）将y=kx+3代入

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，由题意知：OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，从而可求满足条件的实数k；
（重点中学学生做）将y=kx+3代入

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，由题意知：A、B两点关于直线L₁对称，从而可求则AB的中点D的坐标，并满足直线L₁的方程y=-

x+6，故可求满足条件的实数k．

解答：解：（1）由已知得：c2=12，

，则a²=3，b²=9，
因此所求双曲线的标准方程为

=1．---（4分）
（2）（普通中学学生做）
将y=kx+3代入

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，
则由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：-

＜k＜

，k≠±

，---（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，
由题意知：OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，---（9分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3，
则x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=

9k2-9

k2-3

=0，即k=±1满足条件．---（12分）
（重点中学学生做）
将y=kx+3代入

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，
则由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：-

＜k＜

，k≠±

，---（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，
由题意知：A、B两点关于直线L₁对称，---（9分）
则AB的中点D的坐标为(

3-k2

，

3-k2

)，
并满足直线L₁的方程y=-

x+6，则k=±1满足条件．---（12分）

点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将问题进行等价转化．

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