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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
2
2
,短轴长为2.
(1)求椭圆方程;
(2)若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,经过点(0,
2
)
且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q.是否存在常数k,使得向量
OP
+
OQ
AB
共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)利用条件2b=2,
c
a
=
2
2
,求出a,b,c即可求出椭圆方程;
(2)先把直线方程和椭圆方程联立消去y,对应判别式大于0,找到一个关于k的不等式.再求出向量OP,OQ,AB的坐标,利用向量
OP
+
OQ
AB
共线求出k的值,看是否满足判别式大于0即可下结论.
解答:解:(1)由已知得
2b=2
c
a
=1
a2=b2+c2
?
a=
2
b=1
c=1

故椭圆方程是
x2
2
+y2
=1(4分)
(2)由已知条件,直线l:y=kx+
2
,代入椭圆方程得
x2
2
+(kx+
2
)2
=1.
整理得(
1
2
+k2)x2+2
2
kx+1=0①
由已知得△=8k2-4(
1
2
+k2)=4k2
-2>0,解得k<-
2
2
或k>
2
2
.(6分)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
OP
+
OQ
=(x1+x2y1+y2)

由方程①,x1+x2=-
4
2
k
1+2k2
. ②
又y1+y2=k(x1+x2)+2
2
. ③
A(
2
,0)
,B(0,1),
AB
=(-
2
,1)

所以
OP
+
OQ
AB
共线等价于x1+x2=-
2
(y1+y2)

将②③代入上式,解得k=
2
2
,(10分)
又k<-
2
2
或k>
2
2

故没有符合题意的常数k.(12分)
点评:本题综合考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题.在研究直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是把直线方程和椭圆方程联立消去其中一个变量,得到一个关于直线与圆锥曲线交点坐标的方程,再利用题中条件求解.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率为e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程,
(Ⅱ)若P是椭圆上的任意一点,求
PF1
PA
的取值范围
(III)直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的顶点),AH⊥MN垂足为H且
AH
2
=
MH
HN
,求证:直线l恒过定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为k1,k2
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线l⊥x轴时,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率是
3
2
,且经过点M(2,1),直线y=
1
2
x+m(m<0)
与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当m=-1时,求△MAB的面积;
(3)求△MAB的内心的横坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
ND
MP
AB
2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根,求椭圆方程.

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