Question

（本题满分16分）

   （文科学生做）已知命题p：函数在R上存在极值；

命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

若为真，为假，试求实数a的取值范围。

 

（理科学生做）已知命题p：对，函数有意义；

命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

若为真，为假，试求实数a的取值范围。

Answer 1

解析：（文科）由题意得：，                    …………2分

因为f(x)在R上存在极值，所以=0有两个不相等的实根；

所以Δ=a2 4>0, 得a>2或a <2                               …………5分

（理科）由题意得：对有ax2 4ax +a+6>0恒成立，       …………2分

当a=0时，有6>0恒成立，

当a≠0时，则

所以                                               …………5分

命题q：由x2 + 2x 3<0得3<x <1 所以A=(3, 1)                      …………7分

因为对，都有，所以AB；                    …………8分

由x 2 (a +１) x + a >0得(x a)(x 1)>0

当a<1时，B= ( ∞, a)∪(1, +∞), 此时不满足AB，

当a≥1时，B= ( ∞, 1)∪(a, +∞), 此时满足AB，所以a≥1  …………10分

因为为真，为假，所以p与q一真一假，          …………11分

（文科）当p真q假，则            …………13分

当p假 q真，则                   …………15分

所以所求a的取值范围是或                …………16分

（理科）当p真q假，则             …………13分

当p假 q真，则                    …………15分

所以所求a的取值范围是或                 …………16分