【题目】已知函数对于任意的
都有
,当
时,则
且
(1)判断的奇偶性;
(2)求在
上的最大值;
(3)解关于的不等式
.
【答案】(1) 函数f(x)为奇函数.
(2)6.
(3)见解析.
【解析】
分析:(1)取x=y=0可得f(0)=0;再取y=﹣x代入即可;
(2)先判断函数的单调性,再求函数的最值;
(3)由于f(x)为奇函数,整理原式得 f(ax2)+f(﹣2x)<f(ax)+f(﹣2);即f(ax2﹣2x)<f(ax﹣2);再由函数的单调性可得ax2﹣2x>ax﹣2,从而求解.
详解:(1)取x=y=0,
则f(0+0)=f(0)+f(0);
则f(0)=0;
取y=﹣x,则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),
∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立
∴f(x)为奇函数;
(2)任取x1,x2∈(﹣∞,+∞)且x1<x2,则x2﹣x1>0;
∴f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0;
∴f(x2)<﹣f(﹣x1),
又∵f(x)为奇函数
∴f(x1)>f(x2);
∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数;
∴对任意x∈[﹣3,3],恒有f(x)≤f(﹣3)
而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=﹣2×3=﹣6;
∴f(﹣3)=﹣f(3)=6;
∴f(x)在[﹣3,3]上的最大值为6;
(3)∵f(x)为奇函数,
∴整理原式得 f(ax2)+f(﹣2x)<f(ax)+f(﹣2);
即f(ax2﹣2x)<f(ax﹣2);
而f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,
∴ax2﹣2x>ax﹣2;
∴(ax﹣2)(x﹣1)>0.
∴当a=0时,x∈(﹣∞,1);
当a=2时,x∈{x|x≠1且x∈R};
当a<0时,;
当0<a<2时,
当a>2时,.
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【题目】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图),其中样本数据分组区间为,
,…,
,
.
(1)求频率分布图中的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在的受访职工中, 随机抽取2人,求此2人评分都在
的概率.
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【题目】在极坐标系中,圆C的极坐标方程为: .以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为:
(
为参数).
(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆C的公共点的极坐标.
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【题目】已知函数f(x)=
(1)当a≥1时,求f(x)在[0,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(2)对任意的正实数a,问:曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ(O为坐标原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
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【题目】已知函数,函数
的最小值为
.
(1)求;
(2)是否存在实数同时满足下列条件:
①;
②当的定义域为
时, 值域为
?若存在, 求出
的值;若不存在, 说明理由.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且对任意正整数n,都有an= +2成立.
(1)记bn=log2an , 求数列{bn}的通项公式;
(2)设cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有N人参加,现将所有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等七组,其频率分布直方图如下所示.已知[35,40)这组的参加者是8人.
(1)求N和[30,35)这组的参加者人数N1;
(2)已知[30,35)和[35,40)这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率;
(3)组织者从[45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为x,求x的分布列和均值.
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