Question

设数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，a₁=4，na_n+1=S_n+n（n+1）对任意n∈N^*均成立．
（I）求证：数列{a_n}是等差数列；
（II）设数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n，其中b₁=2，求数列{b_n}的通项公式；
（III）设cn=

1

bn

，求证：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer 1

分析：（I）利用数列中前n项和S_n与通项a_n之间的关系，将前n项和S_n转化为通项a_n之间的关系是解决本题的关键．用等差数列的定义判断该数列是等差数列；
（II）发现数列{b_n}的规律是解决本题的关键．转化为等差数列求和问题．
（III）裂项求和是解决本小题的关键．利用放缩法从左边放缩到右边．

解答：解：（I）∵na_n+1=S_n+n（n+1）①∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n（n≥2）②
①-②整理得，a_n+1-a_n=2（n≥2）
又由①，取n=1得a₂-a₁=2∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴数列{a_n}是以4为首项，2为公差的等差数列．
（II）由（I）知a_n=4+2（n-1）=2（n+1）
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
∴（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）=2n+2（n-1）+…+2×3+2×2=n²+n-2
∴b_n=n（n+1）．
（III）由cn=

1

bn

得，cn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查等差数列的确定，利用等差数列的定义解决．考查数列中前n项和S_n与通项a_n之间的关系，考查学生的等价转化思想和化归思想，数列求和的裂项求和方法，证明不等式的放缩法等方法．