Question

设函数f（x）=ax+

1

x+b

（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？若是，请求其对称中心；否则说明理由．
（II）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
（III） 将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后与抛物线y=ax²（a为非0常数）的图象有几个交点？（说明理由）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得f（2）=3，f′（2）=0，联立方程即可求得a，b值，得f（x）解析式，然后构造奇函数g（x），根据f（x）与g（x）的关系可得f（x）的对称性；
（II）在曲线上任取一点(x0，x0+

1

x0-1

)．  利用导数可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，分别联立切线方程与x=1，y=x的方程可得三角形定点，利用三角形面积公式即可求得定值；
（III）将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后得到的函数为y=f(x+1)=x+

1

x

+1，它与抛物线y=ax²的交点个数等于方程x+

1

x

+1=ax²的解的个数．分离出参数a后构造函数，利用导数可判断函数的单调性并求得其值域，由此可得结论；

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a-

1

(x+b)2

，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
于是

f(2)=2a+ 1 2+b =3 k=f′(2)=a- 1 (2+b)2 =0

，解得

a=1 b=-1

或

a= 9 4 b=- 8 3 .

，
因a，b∈Z，故f(x)=x+

1

x-1

．令g(x)=x+

1

x

，满足g(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-g(x)，
所以g（x）是奇函数，其图象是以原点（0，0）为中心的中心对称图形．                         
而函数g（x）的图象按向量

a

=（1，1）平移，即得到函数f(x)=x-1+

1

x-1

+1的图象，
故函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．                          
（（II）证明：在曲线上任取一点(x0，x0+

1

x0-1

)．  
 由f′(x0)=1-

1

(x0-1)2

知，过此点的切线方程为y-

x 2 0 -x0+1

x0-1

=[1-

1

(x0-1)2

](x-x0)．                 
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，切线与直线x=1交点为(1，

x0+1

x0-1

)．                   
令y=x得y=2x₀-1，切线与直线y=x交点为（2x₀-1，2x₀-1）．
直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．                                     
从而所围三角形的面积为S=

1

2

|

x0+1

x0-1

-1||2x0-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

||2x0-2|=2．
所以，所围三角形的面积为定值2．                                        
（III）将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后得到的函数为y=f(x+1)=x+

1

x

+1，
它与抛物线y=ax²的交点个数等于方程x+

1

x

+1=ax²的解的个数．
方程x+

1

x

+1=ax²等价于a=

1

x3

+

1

x2

+

1

x

，即a=t³+t²+t（t≠0），
记G（t）=t³+t²+t（t≠0），G′（t）=3t²+2t+1，△=2²-4×3×1＜0，
∴G′（t）＞0，G（t）=t³+t²+t在R上为单调递增函数，
且G（t）=t（t²+t+1），t→∞时t²+t+1→+∞，G（t）的值域为R，
所以y=a（a≠0）与y=G（t）（t≠0）有且只有一个交点，即将函数y=f（x）的图象向左平移一个单位后，
与抛物线y=ax²有且只有一个交点．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、利用导数研究曲线的切线方程，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．