Question

9．若直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是8．

Answer 1

分析 由圆的方程x²+y²+2x-4y+1=0⇒圆心O为（-1，2），半径r=2；又直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4⇒（-1，2）为直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）上的点，于是-a-2b+1=0⇒a+2b=1，代入$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$，应用基本不等式即可．

解答 解：由x²+y²+2x-4y+1=0得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴该圆的圆心为O（-1，2），半径r=2；
又直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，
∴直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（-1，2），
∴-a-2b+1=0，即a+2b=1，又a＞0，b＞0，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$）•（a+2b）=4+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$≥4+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$=8（当且仅当a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$时取“=”）．
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式，难点在于对“直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（-1，2）”的理解与应用，属于中档题．