【题目】已知向量函数
(1)求函数的值域;
(2)求方程,在内的所有实数根之和.
【答案】(1) ;(2) 0<k<,所有实数根之和, k=0时, .
【解析】试题分析:(1)运用向量的数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式及两角和的正弦公式,结合正弦函数的图象和性质,即可得到所求函数的值域;
(2)由题意可得,讨论当0<k<时,当k=0时,结合函数的对称性和周期性,即可得到所求所求实根之和.
试题解析:
(1)解:f(x)=ab﹣1=1×2cos2x+ sin2x-1
=1+cos2x+ sin2x﹣1=sin(2x+ )
∴f(x)
(2)解:由方程f(x)=k,(0k<),得 .
∵ sin(2x+ )的周期T=π,又 ∵ sin(2x+ )在 内有2个周期.
0<k<∵ ,∴方程 在 内有4个交点,即有4个 实根.根据图象的对称性,有 ,
∴所有实数根之和
k=0时, .
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【题目】已知点是椭圆上任意一点,点到直线:的距离为,到点的距离为,且,直线与椭圆交于不同两点、(、都在轴上方),且.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,若对任意恒成立,求实数的取值范围;
(3)设函数的图象在两点处的切线分别为,若,且,求实数的最小值.
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【题目】某商场销售某件商品的经验表明,该商品每日的销量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,其中,为常数。已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
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【题目】亳州某商场举行购物抽奖活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小求的抽奖箱中,每次取出一球,记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖;等于5中二等奖;等于4或3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求不中奖的概率.
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【题目】如图,太湖一个角形湖湾( 常数为锐角). 拟用长度为(为常数)的围网围成一个养殖区,有以下两种方案可供选择:
方案一 如图1,围成扇形养殖区,其中;
方案二 如图2,围成三角形养殖区,其中;
(1)求方案一中养殖区的面积;
(2)求方案二中养殖区的最大面积;
(3)为使养殖区的面积最大,应选择何种方案?并说明理由.
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【题目】若数列满足(; , ),称数列为数列,记为其前项和.
(Ⅰ)写出一个满足,且的数列;
(Ⅱ)若, ,证明:若数列是递增数列,则;反之,若,则数列是递增数列;
(Ⅲ)对任意给定的整数(),是否存在首项为0的数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由.
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