Question

若关于x的实系数方程x²＋ax＋b＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，3)内，记点(a，b)对应的区域为S．

(1)设z＝2a－b，求z的取值范围；

(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：方程x2＋ax＋b＝0的两根在区间(0，1)和(1，3)上的几何意义是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，3)内，由此可得不等式组，即，则在坐标平面aOb内，点(a，b)对应的区域S如图阴影部分所示，易得图中A，B，C三点的坐标分别为(－4，3)，(－3，0)，(－1，0)，4分 　　(1)令z＝2a－b，则直线b＝2a－z经过点A时Z取得最小值，经过点C时Z取得最大值，即Zmin＝－11，Zmax＝－2，又A，B，C三点的值没有取到，所以－11＜z＜－2；8分 　　(2)过点(－5，1)的光线经x轴反射后的光线必过点(－5，－1)，由图可知可能满足条件的整点为(－3，1)，(－3，2)，(－2，2)，(－2，1)，再结合不等式知点(－3，1)符合条件，所以此时直线方程为：y＋1＝·(x＋5)，即y＝x＋4；12分