【题目】已知圆:,过且与圆相切的动圆圆心为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设过点的直线交曲线于,两点,过点的直线交曲线于,两点,且,垂足为(,,,为不同的四个点).
①设,证明:;
②求四边形的面积的最小值.
【答案】(1).(2)①见解析.②.
【解析】试题分析:
(1)设动圆半径为,由于在圆内,圆与圆内切,由题意可得 ,则点的轨迹是椭圆,其方程为.
(2)①由题意可知,而,,,为不同的四个点,故.
②若或的斜率不存在,四边形的面积为.否则,设的方程为,联立直线方程与椭圆方程可得,同理得,则 ,当且仅当时等号成立.则四边形的面积取得最小值为.
试题解析:
(1)设动圆半径为,由于在圆内,圆与圆内切,
则,, ,
由椭圆定义可知,点的轨迹是椭圆,,,,
的方程为.
(2)①证明:由已知条件可知,垂足在以为直径的圆周上,
则有,
又因,,,为不同的四个点,.
②解:若或的斜率不存在,四边形的面积为.
若两条直线的斜率存在,设的斜率为,
则的方程为,
解方程组,得 ,
则,
同理得,
∴ ,
当且仅当,即时等号成立.
综上所述,当时,四边形的面积取得最小值为.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求的直角坐标方程和的普通方程;
(2)与相交于两点,设点为上异于的一点,当面积最大时,求点到的距离.
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【题目】如图,在以、、、、、为顶点的五面体中,平面平面,,四边形为平行四边形,且.
(1)求证:;
(2)若,,直线与平面所成角为,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若点的坐标为,直线与曲线交于,两点,求的值.
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【题目】已知椭圆:()的左右焦点分别为,且关于直线的对称点在直线上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过焦点垂直轴的直线被椭圆截得的弦长为,斜率为的直线交椭圆于,两点,问是否存在定点,使得,的斜率之和为定值?若存在,求出所有满足条件的点坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图(1)五边形中,
,将沿折到的位置,得到四棱锥,如图(2),点为线段的中点,且平面.
(1)求证:平面平面;
(2)若直线与所成角的正切值为,求直线与平面所成角的正弦值.
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