分析 先根据椭圆的标准方程,求得半焦距c,进而根据椭圆的定义求得|MF1|+|MF2|的值,进而利用余弦定理求得|MF1|和|MF2|的关系式,联立方程求得|MF1|•|MF2|,最后根据三角形面积公式求得三角形的面积.
解答 解:由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1,得a=5,b=4,c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3.
根据椭圆定义,有|MF1|+|MF2|=2a=10.
在△F1MF2中,由余弦定理,得到
|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|•|MF2|•cos∠F1MF2.
即36=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|•|MF2|•cos$\frac{π}{6}$,
36=|MF1|2+|MF2|2-$\sqrt{3}$|MF1|•|MF2|
=(|MF1|+|MF2|)2-(2+$\sqrt{3}$)|MF1|•|MF2|=102-(2+$\sqrt{3}$)|MF1|•|MF2|,
解得|MF1|•|MF2|=64(2-$\sqrt{3}$).
△F1MF2的面积为:S=$\frac{1}{2}$|MF1|•|MF2|sin∠F1MF2
=$\frac{1}{2}$×64(2-$\sqrt{3}$)×sin$\frac{π}{6}$=16(2-$\sqrt{3}$).
点评 本题主要考查了椭圆的应用.特别是利用椭圆的定义解决椭圆的实际问题,同时考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用,属于中档题.
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A. | {2,3,4} | B. | {1,4,6} | C. | {4,5,7,8} | D. | {1,2,3,6} |
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