【题目】已知函数.
(I)若曲线存在斜率为-1的切线,求实数a的取值范围;
(II)求的单调区间;
(III)设函数,求证:当时, 在上存在极小值.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)答案见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)求出函数的导数,问题转化为存在大于的实数根,根据在时递增,求出的范围即可;
(2)求出函数的导数,通过讨论的范围,判断导数的符号,求出函数的单调区间即可;
(3)求出函数,根据,得到存在,满足,从而让得到函数单调区间,求出函数的极小值,证处结论即可.
试题解析:
(I)由得.
由已知曲线存在斜率为-1的切线,所以存在大于零的实数根,
即存在大于零的实数根,因为在时单调递增,
所以实数a的取值范围.
(II)由可得
当时, ,所以函数的增区间为;
当时,若, ,若, ,
所以此时函数的增区间为,减区间为.
(III)由及题设得,
由可得,由(II)可知函数在上递增,
所以,取,显然,
,所以存在满足,即存在满足,所以, 在区间(1,+∞)上的情况如下:
- 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-1<a<0时,g(x)在(1,+∞)上存在极小值.
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【题目】(本题分)
已知函数,若存在,使得,则称是函数的一个不动点,设二次函数.
(Ⅰ)当, 时,求函数的不动点.
(Ⅱ)若对于任意实数,函数恒有两个不同的不动点,求实数的取值范围.
(Ⅲ)在()的条件下,若函数的图象上, 两点的横坐标是函数的不动点,且直线是线段的垂直平分线,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=3,AB=4,AC=CC1=5,M,N分别是A1B,B1C1的中点.
(1)求证:MN//平面ACC1A1;
(2)求点N到平面MBC的距离.
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【题目】学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“或作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“, 两项作品未获得一等奖”;
丁说:“作品获得一等奖”.
若这四位同学只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
(1)当a=-1时,求f(x)的单调递增区间.
(2)当0<-<e时,若f(x)在区间(0,e)上的最大值为-3,求a的值.
(3)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=是否有实数根.
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【题目】(2016·广州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,过线段AD的中点P作BC的平行线,分别交AB,AC于点M,N.
(1)证明:MN⊥平面ADD1A1;
(2)求二面角A-A1M-N的余弦值.
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【题目】已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1, =2an+1(an+1)-an.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=,求数列{an·bn}的前n项和Tn.
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