Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

n(an+3)

(n∈N*)，Sn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有S_n＞

t

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总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项a_n和b_n，在求首项和公差时，主要根据先表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．
（2）由题先求出{b_n}的通项公式后再将其裂成两项的差，利用裂项相消的方法求出和S_n，利用递增数列的定义判断出
数列{S_n}是单调递增的，求出其最小值得到t的范围．

解答：解：（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，…（2分）
整理得2a₁d=d²．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）
∴a_n=2n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）bn=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

．…（10分）
假设存在整数t满足Sn＞

t

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总成立．
又Sn+1-Sn=

n+1

2(n+2)

-

n

2(n+1)

=

1

2(n+2)(n+1)

＞0，
∴数列{S_n}是单调递增的． …（12分）
∴S1=

1

4

为Sn的最小值，故

t

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＜

1

4

，即t＜9．
又∵t∈N^*，
∴适合条件的t的最大值为8．…（14分）

点评：本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法，如基本量法，错位相减求和法等．本题是一个综合题，若在高考题中出现时，应该是一个合格的题目