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已知:一动圆过B(1,0)且与圆A:x2+y2+2x+4λ-3=0(0<λ<1)相切.
(1)证明动圆圆心P的轨迹是双曲线,并求其方程;
(2)过点B作直线l交双曲线右支于M、N两点,是否存在λ的值,使得△AMN成为以∠ANM为直角的等腰三角形,若存在则求出λ的值,若不存在则说明理由.
【答案】分析:(1)当动圆与圆A内切时,|PA|-|PB|=2;当动圆与圆A外切时,|PB|-|PA|=2,利用双曲线的定义可得结论;
(2)若过点B作直线l垂直于x轴,则△AMN不可能成为以∠ANM为直角的等腰三角形;若过点B作直线l不垂直于x轴,则设l的方程与-=1联立,确定N的坐标,可得直线l的斜率,利用直线l与双曲线右支有两个交点,可得λ的取值范围,利用|AN|=|MN|,即可求得结论.
解答:(1)证明:圆A:x2+y2+2x+4λ-3=0可化为(x+1)2+y2=4(1-λ),圆心为(-1,0),半径为r=2
当动圆与圆A内切时,|PA|-|PB|=2;当动圆与圆A外切时,|PB|-|PA|=2
∴||PB|-|PA||=2
∵0<λ<1,∴2<2
∴||PB|-|PA||<|AB|
∴动圆圆心P的轨迹是双曲线,其方程为-=1;
(2)解:若过点B作直线l垂直于x轴,则△AMN不可能成为以∠ANM为直角的等腰三角形;
若过点B作直线l不垂直于x轴,则设l:y=k(x-1),l与双曲线右支交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点
∵∠ANM为直角,∴N在以AB为直径的圆x2+y2=1上
-=1联立,解得x=±,y=±λ
∵N在右支上,∴N(,±λ)
不妨设N在x轴下方,∴N(,-λ)
此时,直线l的斜率为k=
|AN|==
y=k(x-1)代入-=1,可得[λ-(1-λ)k2]x2+2(1-λ)k2x-(1-λ)(λ+k2)=0②
∵直线l与双曲线右支有两个交点,∴,∴λ-(1-λ)k2<0③
于是x1+x2=,x1x2=
将①代入③,可得λ的取值范围为(0,
∴|MN|==-2
∵|AN|=|MN|,∴=-2
∴17λ2-24λ+8=0,∴λ=
∵λ∈(0,
∴存在λ=,使得△AMN成为以∠ANM为直角的等腰三角形.
点评:本题考查轨迹方程,考查双曲线的定义,考查直线与曲线的位置关系,考查存在性问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的长轴长为4,离心率为
1
2
,F1,F2分别为其左右焦点.一动圆过点F2,且与直线x=-1相切.
(Ⅰ) (ⅰ)求椭圆C1的方程;
(ⅱ)求动圆圆心轨迹C的方程;
(Ⅱ)在曲线C上有四个不同的点M,N,P,Q,满足
MF2
NF2
共线,
PF2
QF2
共线,且
PF2
MF2
=0
,求四边形PMQN面积的最小值.

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已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,离心率为
1
2
,F1,F2分别为其左右焦点,椭圆上点P到F1与F2距离之和为4,
(1)求椭圆C1方程.
(2)若一动圆过F2且与直线x=-1相切,求动圆圆心轨迹C方程.
(3)在(2)轨迹C上有两点M,N,椭圆C1上有两点P,Q,满足
MF2
NF2
共线,
PF2
QF2
共线,且
PF2
MF2
=0,求四边形PMQN面积最小值.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西省南昌二中高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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