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(本小题满分14分)
已知函数f(x)=log2.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根,求实数k的取值范围;
(3)问:方程f(x)=x+1是否有实根?如果有,设为x0,请求出一个长度
的区间(a,b),使x0∈(a,b);如果没有,请说明理由.
(注:区间(a,b)的长度为b-a)

(1)f(x)是奇函数
(2)(-∞,1)。
(3)区间(-,-)的中点g(-)>0(4')
解:(1)由得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1);              (2')
因为f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=log21=0,
所以f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数。                                      (4')
(2)方程f(x)=log2(x-k)有实根,也就是方程=x-k即k=x-在(-1,1)内有解,所以实数k属于函数y=x-=x+1-在(-1,1)内的值域。                  (6')
令x+1=t,则t∈(0,2),因为y=t-在(0,2)内单调递增,所以t-∈(-∞,1)。
故实数k的取值范围是(-∞,1)。                                           (8')
(3)设g(x)=f(x)-x-1=log2-x-1(-1<x<1)。
因为,且y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以log2<log223,即4log2<3,亦即log2<。于是g(-)=log2-<0。                ①     (10')
又∵g(-)=log2->1->0。                                   ②     (12')
由①②可知,g(-)·g(-)<0,所以函数g(x)在区间(-,-)内有零点x0。
即方程f(x)=x+1在(-,-)内有实根x0。                                  (13')
又该区间长度为,因此,所求的一个区间可以是(-,-)。(答案不唯一)      (14')
思路提示:用“二分法”逐步探求,先算区间(-1,1)的中点g(0)=-1<0(1'),由于g(x)在(-1,1)内单调递减,于是再算区间(-1,0)的中点g(-)=log23->0(2'),然后算区间(-,0)的中点 g(-)<0(3'),最后算区间(-,-)的中点g(-)>0(4')。
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