Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足   

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：

1

a2

+

1

b2

为定值；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于

2

2

，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；
（2）将直线与椭圆方程组成方程组，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．
（3）由（2）得

1

a2

+

1

b2

=2从而 b2=

a2

2a2-1

又椭圆的离心率不大于

2

2

，得出 e 2=

a 2-b 2

a 2

≤

1

2

．解得椭圆长轴长2a的取值范围即可．

解答：解：（1）设C(x，y)，因为

OC

=α

OA

+β

OB

，则(x，y)=α(1，0)+β(0，-2)
∴

x=α y=-2β

&∵α-2β=1  &∴x+y=1

即点C的轨迹方程为x+y=1
（2）∴

x+y=1 x2 a2 + y2 b2 =1

∴(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0∵a2+b2≠0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)∴x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2-a2b2

a2+b2

由题意

OM

•

ON

=0∴x1x2+y1y2=0
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=1-

2a2

a2+b2

+

2(a2-a2b2)

a2+b2

=0∴a2+b2=2a2b2
∴

1

a2

+

1

b2

=2为定值
（3）∵e≤

2

2

∴e2= a2-b2 a2 ≤ 1 2

，
∵

1

a2

+

1

b2

=2，∴b2=

a2

2a2-1

∴1-

1

2a2-1

≤

1

2

，即

1

2a2-1

≥

1

2

，
∴

2

2

＜a≤

6

2

，从而

2

＜2a≤

6

∴椭圆实轴长的取值范围是(

2

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．