Question

设函数f ( x ) =  (a ??N*), 又存在非零自然数m, 使得f (m ) = m ,

f (– m ) < –成立.

(1) 求函数f ( x )的表达式;

(2) 设{a_n}是各项非零的数列, 若对任意n??N*成立, 求数列{a_n}的一个通项公式;

在(2)的条件下, 数列{a_n}是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明.  

Answer 1

（1）f ( x ) =  ( x ?? 1).

（2）   a_n= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n .

（3）满足条件的数列不惟一.

解析:

(1) 由, 得               

由(1)得 m = ,

当a = 2时, m = 2, 满足(2)式;

当a = 3时, m = 1, 不满足(2)式, 舍去. 得f ( x ) =  ( x ?? 1).        

(2) 由条件得

∴ a_n(1 – a_n) = 2S_n    (3)  ,                                              

令n = 1,得 a₁ = –1, 

又a_{n – 1} (1 – a_{n – 1} ) = 2S _{n – 1} ,    ∴( a_n + a _{n – 1} )( a_n + 1 – a _{n – 1} )= 0,

由a_n – a _{n – 1} = – 1 , a₁ = –1,得{a_n}是首项为– 1, 公差为– 1的等差数列,

∴ a_n= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n .                                           

(3) 由(2)知,满足条件的数列不惟一.

   考虑到a₁ ?? 1, 由 a_n = – a _{n – 1} 及a_n – a _{n – 1} = – 1和a₁ = –1,

构造数列{ –1, –2, 2,–2, –3, – 4, … , – n +2, … }.                          

用数学归纳法证明,该数列满足(3)式,

当n = 1, 2, 3, 4, 5时,直接代入可得(3)式成立,

假设n = k ( k ?? 5)时,(3)成立, 则n = k + 1时,

S_k+1 =S _k + a _k+1 = a_k(1 – a_k) + a _{k + 1} = (–a _{k +1})(1 + a_k+1) + a _{k + 1} =a_k+1(1 – a _k+1).

  所以n = k + 1时(3)式成立, 即该数列满足题设条件.

  得满足条件的数列不惟一.     

构造数列也可能是:

{ –1, 1, –1, –2, –3, – 4, … , – n , … };

{ –1, –2,2, –2, 2, –2, … , (–1) ^{n – 1} 2 , … }( n > 1 )

{ –1, –2,2, –2, –3, – 4, … , – n , … }等等.