Question

假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，

（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？

（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.08⁴≈1.36,1.08⁵≈1.47,

1.08⁶≈1.59)

Answer 1

（1）到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米（2）到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%

解析:

（1）设中低价房的面积形成的数列为{a_n}，

由题意可知{a_n}是等差数列，

其中a₁=250,d=50,

则a_n=250+(n-1)·50=50n+200

S_n=250n+×50=25n²+225n,

令25n²+225n≥4 750,

即n²+9n-190≥0,而n是正整数，∴n≥10.

∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.

（2）设新建住房面积形成数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，其中b₁=400,q=1.08,则b_n=400·(1.08)^n-1.

由题意可知a_n＞0.85b_n,

即50n+200＞400·(1.08)^n-1·0.85.

当n=5时，a₅﹤0.85b₅,

当n=6时，a₆＞0.85b₆,

∴满足上述不等式的最小正整数n为6.

∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.