Question

【题目】已知函数.

（1）当且时，求函数的单调区间；

（2）若，关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.

【解析】

（1）先求导数，根据导函数的零点情况对参数进行分类讨论，研究导函数的正负区间，进而得到函数的单调区间；

（2）将方程的根的问题转化为函数的图象与水平直线的交点个数问题，利用（1）的结论，研究函数的最值和图象，进而得到参数的取值范围.

（1）函数的定义域是，

.

①当时，在上恒成立，在上恒成立，

的增区间为，的减区间为.

②当时，，

在和上恒成立，在上恒成立.

∴时，的增区间为和，的减区间为.

综上所述，当时的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（2）若，，

关于的方程有三个不同的实根，等价于的图象与直线有三个交点.

，

由解得或,由，解得.

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∴，，

又∵当趋近于时趋近于，当在定义域内趋近于0时，趋近于-，∴趋近于-，

∴的图象与直线有三个交点时的取值范围是.