Question

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0），M是线段EF的中点．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值；
（3）令a=1，设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照M→E→C的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P-BFD的体积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，求出，即可证明AC⊥BF；
（2）求出平面ABD的法向量，利用及二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值；
（3）解1a=1，设AC与BD交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD，当P点在M或C时，直接求出三棱锥P-BFD的体积的最小．
解2，求出，利用公式，求解即可．
解答：解：建立空间坐标系，

（1）
，
所以AC⊥BF．（5分）

（2）平面ABD的法向量，
平面FBD的法向量

（3）解1设AC与BD交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
当P点在M或C时，三棱锥P-BFD的体积的最小．
（14分）
解2设AC与BD交于O，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
当P点在M或C时，三棱锥P-BFD的体积的最小．
，
平面FBD的法向量
点C到平面FBD的距离．（14分）
点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，棱柱、棱锥、棱台的体积，向量语言表述线线的垂直、平行关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．